NMAI058/Zkouška Hladík 5. 6. 2014

5.6.2014 Hladík

regina at 2014-06-05 19:11:42

Skupina A:

Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti.
Najděte matici projekce na přímku $\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \end{array} \right)^T \}$ při nestandartním skalárním součinu:
$x,y>^*=4$ x ${}_1$ y ${}_1-2$ x ${}_1$ y ${}_3+$ x ${}_2$ y ${}_2-2$ x ${}_3$ y ${}_1+5$ x ${}_3$ y ${}_3$
Buď
$\left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\2 & 0 & 2 \\1 & 2 & 1 \end{array} \right)$ a) Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A.
b) Rozhodněte zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $\begin{array}{ccc}3&-1&1 \end{array})^T$

4)Rozhodněte a zdůvodněte:
a) Buď V podprostor $R^n$ a $u{}_1,...,u{}_n$ jeho ortonormální báze. Pak matice projekce V má tvar $\sum\limits_{i=1}^m$ u ${}_i$ u ${}_i^T$ b) Pro prostory U,V,W platí že V $⊂\subset$ W(doplněk) U(doplněk) $⊂\subset$ V, potom W $⊂\subset$ U
c) Jsou-li matice $A^{-1},$ B^{-1}$ podobné, pak si jsou matice A, B podobné.
d) Buď A positivně semidefinitivní matice řádu n. Přičteme-li ke keždému prvku A jedničku dostaneme positivně definitivní matici.

zhnujm at 2014-06-06 11:15:07

Skupina B:

Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci
Najděte matici projekce na přímku $p = span\{(3,2,1)^T\}$ při nestandardním skalárním součinu $⟨x,y⟩∗=x1y1−2x1y2−2x2y1+5x2y2+4x3y3\langle x,y\rangle^* = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3$
$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ a) Najděte vlastní čísla $λ1,λ3,λ3\lambda_1,\lambda_3,\lambda_3$ a odpovídající vlastní vektory
b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor $x = (3,1,1)^T$
Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá
a) V podprostor $Rn,u1,...,um\mathbb{R}^n, u_1, ..., u_m$ jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar $\sum\limits_{i=1}^{m}u_iu_i^T]$ b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud $U⊆V⊥U\subseteq V^\perp$ , tak $W⊆U⊥W\subseteq U^\perp$ c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i $A^{-1},B^{-1}$ jsou podobné
d) Pro každé $\in\mathbb{R}^{n\times n}$ je matice $A(A + B^T)(A^T + B)A^T$ positivně semidefinitní.